Ejercicio 6 - Conversión de Forma General a Forma Estándar

En ésta conversión utilizaremos el método para completar un trinomio cuadrado perfecto, en este caso será cuando el valor de a es igual a 1.

Encuentra el vértice y grafica la parábola:

y= x^2 - 6x + 13

Primero, identificamos los valores a, b y c:

a= 1

b= -6

c= 13

Segundo, aplicaremos la siguiente fórmula:

(b/2)^2

(-6/2)^2 = 9

Tercero, sumar y restar el resultado anterior:

y= x^2 - 6x + 9 - 9 + 13

Cuarto, los primeros 3 términos corresponden a un trinomio cuadrado perfecto que tenemos que factorizarlo para obtener un binomio al cuadrado:

y= x^2  -  6x  +  9   -9 +13

                                        Raíz  Signo  Raíz 

y= (x - 3)^2 + 4

Ahora podemos obtener el vértice con la siguiente fórmula, identificando los valores a, h y k:

y= (x - h)^2 + k 

a= 1

h= 3 

k= 4

V= (h,k)

V= (3,4)

Ahora que tenemos el primer punto o valor podemos tabular y con la información obtenida graficaremos: 

y= 2^2 - 6(2) + 13 = 5

y= 1^2 - 6(1) + 13 = 8

Características:

- Ramas arriba

- Concavidad positiva

- Vértice= (3,4)

- Eje de simetría= 3

- Mínimo= 4

Cuando el coeficiente cuadrático es diferente de 1:

Ejemplo: y= -4x^2 +24x +6

Primero se agrupan los términos cuadrático y lineal:

[-4x^+24x]+6

Segundo, se factoriza lo que agrupamos anteriormente tomando el término cuadrático:

-4[x^2-6x]+6

Tercero, se obtiene b del término lineal de todo lo que se encuentra adentro del corchete para aplicar (b/2)^2:

b=-6 (-6/2)^2 = -3^2= 9

Cuarto, se suma y se resta el valor obtenido dentro de los corchetes:

-4[x^2-6x+9-9]+6

Quinto, se factoriza para obtener el trinomio cuadrado perfecto (TCP) y se aplica jerarquía de operaciones:

-4(x-3)^2+36+6

-4(x-3)^2+42

y= (x-h)^2 +k

Ahora tenemos nuestra forma estándar, con la cuál empezamos a tabular y graficar:

a= -4

h= 3

k= 42

Vértice= (3,42)

-4(2)^2+24(2)+6=38

-4(1)^2+24(1)+6=26

Características:

-Ramas abajo

-Concavidad negativa

-Vértice (3,42)

-Eje de simetría 3

Máximo 42