Ejercicio 3 - Identidades Trigonométricas.

Demuestra que: 

 tan x

-------  = sec x

sen x          

 

 sen x 

  -------

  cos x 

______  =    1 

  sen x       -------

  -------        cos x 

     1                                                                1                  1

                                                                    ---------  =    ---------

                                                                     cos x           cos x 

    sen x                        1

------------------- =       ---------

(cos x)(sen x)            cos x 

Ley del Seno y Coseno.

Ley del Seno

Ley del Coseno

a^2 = b^2 + c^2  --------- 2bc     cos a

b^2 = a^2 + c^2  --------- 2ac     cos b 

c^2 = a^2 + b^2  --------- 2ab     cos c


Fuente de Información (Página Web):

http://docente.ucol.mx/narahita/leyes/sen2.htm

Ejercicio 2 - Ecuaciones con Razones Trigonométricas.

Obtener el resultado de la siguiente función:

6 (sen 30°) (cos 30°) + 8 (tan 30°) (cos 45°)

6    (0.5)     (0.866)   + 8   (0.57)     (0.707)

      6    (0.433)         +      8    (0.408)

                       2.59  + 3.26  =  5.85 

Conversiones de Grados a Radianes.

            
 Conversión de Decimales de un Ángulo de Minutos y Segundos.

1°= 60 minutos (60')

1' = 60 segundos (60")

                 

Conversión de Minutos y Segundos a Grados.

Fuente de Información (Páginas Web):

http://www.amschool.edu.sv/paes/t1.htm

http://www.tareasplus.com/convertir-grados-minutos-y-segundos-a-grados-decimales/

http://www.aulafacil.com/fisica-matematicas/curso/Lecc-13.htm

Funciones Trigonométricas. Ejercicio 1 - Funciones Trigonométricas de un Triángulo Rectángulo.

Obtén las medidas trigonométricas y el ángulo de los siguientes ángulos.

                                                         2

1- Obtener la hipotenusa.

C^2= a^2 + b^2

c^2= 3^2 + 2^2

c^2= 9 + 4

c^2= 13

c= raíz 13

c= 3.605

2. Obtener Seno, coseno y tangente de alfa.

Sen A = 3   = 0.8333

           ---

           3.6 

Cos A = 2   = 0.5555

           ---

           3.6

tan A = 3    = 1.5

          ----

            2

3. Se toma cualquier función trigonométrica y se obtienen los grados de A.

Sen A = 0.8333

A= sen -1 (0.8333)

A= 56.09°

Ejercicio 1 - Perímetro, Área y Volumen

El perímetro de un polígono es la suma de la longitud de cada lado, si el polígono es regular, entonces el perímetro es igual al número de lados por la longitud de uno de ellos:

                              P = (n° de lados) (Longitud)

Si el perímetro de un triángulo equilátero es de 99 metros, ¿Cuánto mide cada lado?

  

                              P = ( n° l )  (longitud)

                              

                              l = P / N° l

                              l = 99 / 3

                              l = 33 metros.

El área de una figura es la medida de la superficie y medir una superficie es determinar cuantas veces contiene a otra superficie conocida. 

Un terreno de forma mide 35 m. y 45 m. en sus lados paralelos y el ancho mide 20 m. ¿Cuál es el área?

Formula del trapecio=  (B + b) h

                               -------------

                                      2

                           A= (45+35) 20

                                --------------

                                       2

            

                           A=   1600

                                 --------

                                     2 

                           A= 800 m^2

Volumen

Se almacenan granos en un cono que tiene 20 m de altura y un radio de 6 m. ¿Cuál es la capacidad de almacenamiento?

Formula del cono:

 V =  (3.1416 (6)^2) 20
            -------------------------
                            3

V = (113.09) 20
      --------------
             3

V = 2261.946711
      ----------------
             3

 V = 753.98 m^3

Ejercicio 5 - Teorema de Pitagoras

La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Este teorema se utiliza solamente en los triángulos rectángulos.
Para verificar que un triángulo es rectángulo podemos aplicar también el teorema de Pitagoras.

Verifica si los triángulos son rectángulos.

       a) 4, 7.5 y 8.5                b) 8, 15 y 12                c) 12, 15 y 20

       8.5^2=4^2+7.5^2         15^2=8^2+12^2        20^2=12^2+15^2
       72.25=16+56.25            223=64+144              400=144+225 
       72.25=72.25                  223=208                   400=369 

  Si es triángulo rectángulo   No es triáng. rect.         No es triáng. rect.

Ejercicio 4 - Ángulos Internos de un Polígono

Los ángulos internos de un polígono se obtienen dividiendo ese polígono en triángulos para ver cuantos se forman internamente desde un vértice.

Fórmula:  de ángulos internos= (n° de lados - 2)180°

Obtener la suma de los ángulos internos de los siguientes polígonos:
       a) 38 lados                b) 10 lados               c) 17 lados

         38-2=36                       10-2=8                    17-2=15
    36(180)=6480°             8(180)=1440°           15(180)=2700°

Ejercicio 3 - Teoremas

Si tenemos dos ángulos complementarios congruentes con otros dos, entonces el complemento de este también será congruente.

Si tenemos dos ángulos suplementarios congruentes con otros dos, entonces el suplemento de este también será congruente.

En 2 rectas paralelas divididas por una transversal, uno de los ángulos mide 150°, calcula el valor de "x" y "y".

___      ___

AB  II  CD

  x + y = 150°       150° + ángulo "a" = 180°

-x + 2y= 30°                                     -----

                                                 a  = 30°

       3y=120                            x+y  = 150°

         y=120

             ----

              3

         y= 40° 

 

       x+40=150°

       x=150-40

       x= 110°

Ejercicio 2 - Semejanza de Triángulos

Los triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma aunque tengan diferente tamaño. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos respectivos son congruentes, y sus lados homólogos y proporcionales.

Postulado: L A L

30

--- = 1.42

21        

           

20       

--- = 1.42

14

Ángulo A = Ángulo E = 90°

Ejercicio 1 - Triángulos Congruentes.

Dos triángulos son congruentes si tienen el mismo tamaño y forma, de tal manera que si los superponemos uno con el otro, coinciden de manera exacta.
Sabemos que la suma de los 3 ángulos internos de un triángulo es igual a 180° y también conocemos los 3 postulados de congruencia en los triángulos: ALA, LAL y LLL.

Encuentra el valor de "x" y de "y" de las siguientes figuras, aplicando los postulados de congruencia.

ABC = Triángulo 1    ADC= Triángulo 2

Postulado: LAL

                        Triángulo            Lado                Angulo

                             I                    I,X                    60°
                             
                             II                   I,X                    3y

3y=60°
  y=60
      ---
      3
y=20°

                        Triángulo             Lado                Angulo 

                              I                    II,X                  2x

                             II                    II,X                  24

2x=24°
  x=24
      ---
       2
x=12°

Rectas y Segmentos más Importantes de un Circulo.

Cuerda:

Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por su centro. Una cuerda define a un arco, que es un segmento de la circunferencia de menor tamaño que la misma.

Secante:

Es la recta que corta al circulo en dos partes, una más grande que la otra.

Tangente:

Es la recta que toca al circulo en un solo punto; es perpendicular al radio, cuyo extremo es el punto de tangencia.

Radio:

Es un segmento que une al centro con un punto de la circunferencia perimetral.

Diámetro:

Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. El diámetro divide al círculo en dos partes iguales.

Ejercicio 8 - Construcción de un Pentágono Dentro de una Circunferencia

1.- Traza un diámetro (AB) y después una recta perpendicular (CD (mediatriz).
2.- Traza el radio de uno de los puntos del diámetro (AB), de modo que corte la circunferencia (puntos E,F).
3.- Traza una recta con los puntos de corte (EF), de modo que intersecte el diámetro, el cual será el punto G.
4.- Traza nuevamente el radio del circulo desde punto G, de modo que corte el diámetro, que será el punto H.
5.- Abre el compás del punto C al punto H y realiza cortes a la circunferencia con esa medida, situandote como punto de inicio en el punto C
6.- Une los puntos de corte de la circunferencia que realizaste anteriormente (5).

Ejercicio 7 - Construcción de un Triángulo

1.- Trazar el diámetro y el punto centro (radio).

2.- Trazar el radio por cualquiera de los dos lados del diámetro (segmento AB).

3.- Unir el punto contrario del diámetro (B) con los puntos formados por el radio del arco (C,D).

Ejercicio 6 - Polígonos, Construcción de un Cuadrado Dentro de un Circulo.

Los polígonos son figuras formadas por más de 3 lados, los cuales forman su perímetro. Existen polígonos irregulares, los cuales son formados por lados de diferente longitud y los polígonos regulares, que son formados por los lados con la misma longitud.

Construcción de un cuadrado dentro de un circulo cualquiera:

1) Trazamos el diámetro y se traza una perpendicular, haciendo una mediatriz, se intersectan los arcos formados.

2) Los puntos formados en la circunferencia se unen, formando el cuadrado.

Ejercicio 5 - Desigualdad de los Triángulos.

Postulado de la Desigualdad:

En todo triángulo la suma de dos de sus lados cualquiera debe ser mayor a la medida del lado restante.

Determina si se pueden formar los triángulos con las siguientes medidas e indica que clase de triángulo es.

a) 4, 5 y 7
b)6,7 y 13

4+5= 9>7
5+7=12>4          Si se puede.
4+7=11>5

6+7=13=13 x
7+13=20>6        No se puede.
6+13=19>7

Ejercicio 4 - Ángulos Congruentes.

En el siguiente triángulo:

a) Construye la mediatriz de ___
                                         AC
b) Traza la bisectriz de <B.

c) Traza la mediana de ____
                                  AB 

d) Construye la altura desde el vértice A al lado ___
                                                                    BC 

e) Construye la altura desde el vértice C a la prolongación del lado ____
                                                                                               AB  

Ejercicio 3 - Triángulos

Mediatriz:

Es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio (linea trazada a la mitad de un lado). Se obtiene por circuncentro (punto de corte de las 3 mediatrices).

Bisectriz:

Es cada una de las rectas que divide a un ángulo a 2 ángulos iguales. Se obtienen por incentro (punto de corte de las tres bicectrices)

Altura:

Es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o prolongación). Se obtiene ortocentro (punto de corte de las tres alturas).

Mediana:

Es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Se obtiene el baricentro (punto de corte de las tres medianas).

Clasificación de los Triángulos

Según sus lados:

Equilátero:

Cuando todos sus lados son iguales y, en consecuencia, también sus ángulos.

Isósceles:

Cuando dos lados son iguales y el tercero, que se toma como la base del triángulo, de diferente tamaño.

Escaleno:

Cuando todos sus lados son diferentes.

Según sus ángulos:

Acutángulo:

Cuando todos sus ángulos son agudos (<90°).

Rectángulo:

Cuando uno de sus ángulos es recto (90°).

Obtusángulo:

Cuando uno de sus ángulos es obtuso (>90°).

Fuentes de Internet:

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo#Clasificaci.C3.B3n_seg.C3.BAn_los_lados_y_los_.C3.A1ngulos

http://www.escolares.net/geometria/clasificacion-de-triangulos/

Ejercicio 2 - Construcciones Básicas

Ángulos Congruentes:
Un ángulo es la unión de 2 rayos que tienen el mismo extremo u origen. Los ángulos se denominan por medio del símbolo; y una letra griega o mayúscula. 

Construcción:

Trazar un ángulo congruente

1) Con el compás centrado en A (Ángulo Original), se traza un arco con cualquier radio, de forma que corte los dos rayos del ángulo, las intersecciones serán los puntos B y C.

2) Se traza un rayo con origen en P

3) Con la abertura que tenia el compás centramos en P y trazamos un arco de circunferencia que cruce el rayo ( Punto Q)

4) Abrir el compás con la longitud ___ (Ángulo Original) y centrando en Q 

                                                BC    

trazamos un arco de circunferencia que cruce al arco anterior (Punto R)

5) Se traza el rayo uniendo los puntos P y R (__).

                                                               PR

Ejercicio 1 - Elementos Geométricos

Punto:

Unidad más pequeña que se puede dibujar y se representa por una letra.

.

A

Linea:

Sucesión continua de puntos y se representa de la siguiente forma:

A.______________.B

____

AB

Plano:

Sucesión continua de lineas:

Puntos Colineales:

Son aquellos que están sobre la misma recta.

Puntos no Colineales:

Son aquellos que no están sobre la misma recta.

Grupos Colineales:

B,C,D   A,F,C   A,E,D

Grupos no Colineales:

A,B,D   E,C,D   A,B,C   E,F,C   E,B,D

Ángulos

Ángulo Agudo: 

Es el ángulo formado por 2 rayos con amplitud mayor de 0° y menor de 90° 

Ángulo Recto:

Es el ángulo formado por 2 rayos perpendiculares, equivalente a una amplitud de 90°

Ángulo Obtuso:

Es el ángulo formado por 2 rayos con amplitud mayor a 90° y menor a 180°

Ángulo Llano:

Es aquél ángulo con 180° de amplitud 

Ángulos Adyacentes:

Son los ángulos formados por 2 ángulos consecutivos que tienen un vértice y un rayo en común, y juntos forman un ángulo llano.

Ángulos Opuestos por el Vértice:

Son los ángulos que, teniendo un vértice en común, los rayos de uno son prolongación del otro ángulo. 

Ángulos Suplementarios:

Son aquellos ángulos que, sumados, son igual a 180° o valen 2 ángulos rectos .

Ángulos Complementarios:

Son aquellos ángulos que, sumados, son igual a 90° (ángulo recto).


Fuentes de Internet:

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/angulos.html

http://www.vitutor.com/geo/eso/el_6.html

Ejercicio 7 - Transformación de una Forma Estándar a una Forma General

Conociendo el vértice y el valor de a se puede encontrar la función de forma general sustituyendo en la forma estándar:

a= -4  v= (3,42)

Sustituimos los valores en la fórmula estándar:

(x-h)^2+k = y o f(x) 

-4(x-3)^2+42 = y

Obtenemos el trinomio cuadrado perfecto:

-4(x^2-6x+9)+42=y

Multiplicamos por el valor a:

-4x^2 -24x-36+42=y

Aplicamos jerarquía de operaciones:

-4x^2 - 24x + 6 =y

Ejercicio 5 - Ecuación Cuadrática de la Forma Estándar

La forma estándar es:

y= a(x-h)^2 + k

Donde a, h y k, según sus valores la gráfica se moverá hacia arriba o hacia abajo, a la derecha o a la izquierda y también se podrá ensanchar o adelgazar.

a define si es ancha o delgada:

1- y= x^2

2- y= 3x^2

y= x^2

y= 3x^2

a= define si es ancha o delgada

h= define si se desplaza a la izquierda o a la derecha

k= define si va hacia arriba o hacia abajo

Ejercicio 6 - Conversión de Forma General a Forma Estándar

En ésta conversión utilizaremos el método para completar un trinomio cuadrado perfecto, en este caso será cuando el valor de a es igual a 1.

Encuentra el vértice y grafica la parábola:

y= x^2 - 6x + 13

Primero, identificamos los valores a, b y c:

a= 1

b= -6

c= 13

Segundo, aplicaremos la siguiente fórmula:

(b/2)^2

(-6/2)^2 = 9

Tercero, sumar y restar el resultado anterior:

y= x^2 - 6x + 9 - 9 + 13

Cuarto, los primeros 3 términos corresponden a un trinomio cuadrado perfecto que tenemos que factorizarlo para obtener un binomio al cuadrado:

y= x^2  -  6x  +  9   -9 +13

                                        Raíz  Signo  Raíz 

y= (x - 3)^2 + 4

Ahora podemos obtener el vértice con la siguiente fórmula, identificando los valores a, h y k:

y= (x - h)^2 + k 

a= 1

h= 3 

k= 4

V= (h,k)

V= (3,4)

Ahora que tenemos el primer punto o valor podemos tabular y con la información obtenida graficaremos: 

y= 2^2 - 6(2) + 13 = 5

y= 1^2 - 6(1) + 13 = 8

Características:

- Ramas arriba

- Concavidad positiva

- Vértice= (3,4)

- Eje de simetría= 3

- Mínimo= 4

Cuando el coeficiente cuadrático es diferente de 1:

Ejemplo: y= -4x^2 +24x +6

Primero se agrupan los términos cuadrático y lineal:

[-4x^+24x]+6

Segundo, se factoriza lo que agrupamos anteriormente tomando el término cuadrático:

-4[x^2-6x]+6

Tercero, se obtiene b del término lineal de todo lo que se encuentra adentro del corchete para aplicar (b/2)^2:

b=-6 (-6/2)^2 = -3^2= 9

Cuarto, se suma y se resta el valor obtenido dentro de los corchetes:

-4[x^2-6x+9-9]+6

Quinto, se factoriza para obtener el trinomio cuadrado perfecto (TCP) y se aplica jerarquía de operaciones:

-4(x-3)^2+36+6

-4(x-3)^2+42

y= (x-h)^2 +k

Ahora tenemos nuestra forma estándar, con la cuál empezamos a tabular y graficar:

a= -4

h= 3

k= 42

Vértice= (3,42)

-4(2)^2+24(2)+6=38

-4(1)^2+24(1)+6=26

Características:

-Ramas abajo

-Concavidad negativa

-Vértice (3,42)

-Eje de simetría 3

Máximo 42